Question

（2006•成都一模）已知△ABC中，角A、B、C所對邊分別是a、b、c，b＜a＜c且20cos2

A

2

=3(cot

A

4

-tan

A

4

)．求sin2A的值．

Answer 1

分析：把已知等式左邊括號中的兩項先利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，再通分后，根據(jù)同分母分數(shù)的減法法則計算，進而分子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，分母利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，整理后提取2cos

A

2

，并把括號中的被減數(shù)再利用二倍角的正弦函數(shù)公式變形，由cos

A

2

不為0，得到sinA的值，再由A為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosA的值，最后把所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，將sinA和cosA的值代入即可求出值．

解答：解：由20cos2

A

2

=3(cot

A

4

-tan

A

4

)變形得：
20cos2

A

2

=3(

cos A 4

sin A 4

-

sin A 4

cos A 4

)，即20cos2

A

2

=

3(cos2 A 4 -sin2 A 4 )

sin A 4 cos A 4

，
∴20cos2

A

2

=

6cos A 2

sin A 2

，即20sin

A

2

cos2

A

2

-6cos

A

2

=0，
∴2cos

A

2

(10sin

A

2

cos

A

2

-3)=0，即cos

A

2

（5sinA-3）=0，
∵A、B、C是三角形的內(nèi)角，
∴cos

A

2

≠0，
∴5sinA=3，即sinA=

3

5

，
又∵b＜a＜c，∴A為銳角，
∴cosA=

1-sin2A

=

4

5

，
∴sin2A=2sinAcosA=

24

25

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．