Question

20．設(shè)x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$目標函數(shù)z=2x+y的最大值是14，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為10，則$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$的最小值為5．

Answer 1

分析 ①作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，①由z=2x+y得：y=-2x+z，顯然y=-2x+z過A點時，z最大，將A（4，6）代入求出即可；
②利用線性規(guī)劃的知識先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式的性質(zhì)求出$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$的最小值即可．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，
作出可行域如圖：

①由z=2x+y得：y=-2x+z，
顯然y=-2x+z過A點時，z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6），
∴z_最大值=2×4+6=14，
②∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$的斜率為負，且截距最大時，z也最大．
平移直線y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$經(jīng)過點A時，
直線的截距最大，此時z也最大．
此時z=4a+6b=10，
即2a+3b-5=0，即$\frac{2a}{5}$+$\frac{3b}{5}$=1，
則$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$）（$\frac{2a}{5}$+$\frac{3b}{5}$）=$\frac{4}{5}$+$\frac{9}{5}$+$\frac{6b}{5a}$+$\frac{6a}{5b}$≥$\frac{13}{5}$+2$\sqrt{\frac{6b}{5a}•\frac{6a}{5b}}$=$\frac{13}{5}$+$\frac{12}{5}$=5，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{6b}{5a}$=$\frac{6a}{5b}$，即a=b=1時，取等號，
故$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$的最小值為5，
故答案為：14，5．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．