Question

如圖，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為4，側(cè)棱長為2，動點P在AA₁上運動，動點Q在底面ABCD內(nèi)運動，且PQ=2.

（1）求證：BD⊥平面AA₁C₁C；

（2）求線段PQ中點M所形成圖形的面積；

（3）若PA=，當四面體B—QDC₁的體積最小時，求二面角B-C₁Q-C的大小.

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，?

∴BD⊥AC，AA₁⊥面BD，?

BD面ABCD，BD⊥AA₁，?

∴BD⊥平面ACC₁A₁.                                                                                             

?

（2）解:∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥AQ.?

M為PQ中點，AM=1,                                                                                            ?

點M在以A為球心，半徑為1的球面上，動點M所形成圖形的面積為S=.         ?

（3）解:若PA=，則AQ=.Q在以A為圓心,半徑為的圓弧上運動.?

∵V=V,C₁到面BDQ的距離為2，只要S_△BDQ面積最小即可，即Q到BD距離最小.

?

∵AC⊥BD，∴Q在AC上.?

設(shè)BD∩AC=O，BD⊥平面CC₁Q，過O作OE⊥C₁Q交C₁Q于E.連結(jié)BE，則∠BEO為二面角B-C₁Q-C的平面角.                                                                                                             ?

CQ=3，QO=，C₁Q=，RT△OEQ∽RT△C₁CQ?,?

∴OE=,tan∠BEO==,?

∠BEO=arctan.?

∴二面角B-C₁Q-C大小為arctan.