Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=log2(

x2+1

x

)-a在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．（0，+∞）

B．（-∞，1]

C．[1，+∞）

D．[2，+∞）

Answer 1

分析：對(duì)于函數(shù)f(x)=log2(

x2+1

x

)-a，令t=

x2+1

x

，由基本不等式可得t的最小值為2，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）的最小值為1-a，由函數(shù)的零點(diǎn)的定義，分析可得若f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，必有1-a≤0，解可得a的范圍，即可得答案．

解答：解：對(duì)于函數(shù)f(x)=log2(

x2+1

x

)-a，
令t=

x2+1

x

，則t=x+

1

x

，（x＞0）
當(dāng)x＞0時(shí)，易得t≥2

x• 1 x

=2，即t有最小值2，
此時(shí)有f（x）≥log₂2-a=1-a，即f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有最小值1-a，
若其在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，
必有1-a≤0，即a≥1；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)判定與基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式，求出函數(shù)的最小值．