Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…）．
（1）求a₃、a₄的值；
（2）設(shè)bn=

1

an+1

-1（n∈N^*），試用b_n表示b_n+1并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：對(duì)一切n∈N^*且n≥2，有

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…），分別令n=2，3，能夠求出a₃，a₄．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，

1

an+1

-1=

n-an

(n-1)an

=

n(an-1)

(n-1)an

=

n

n-1

(

1

an

-1)，利用累乘法能夠求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）當(dāng)k≥2時(shí)，有ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-5)(3k-2)

=

1

3

(

1

3k-5

-

1

3k-2

)，利用裂項(xiàng)求和法能夠證明

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

1

3

．

解答：解：（1）∵a₁=1，a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…），
∴a3=

(2-1)× 1 4

2- 1 4

=

1

7

，
a4=

(3-1)× 1 7

3- 1 7

=

1

10

．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，

1

an+1

-1=

n-an

(n-1)an

=

n(an-1)

(n-1)an

=

n

n-1

(

1

an

-1)，
累乘得

1

an+1

-1=n(

1

a2

-1)．
整理得當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=

1

3n+1

，即an=

1

3n-2

．
又n=1時(shí)也成立，故an=

1

3n-2

，n∈N^*．
（3）當(dāng)k≥2時(shí)，有ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-5)(3k-2)

=

1

3

(

1

3k-5

-

1

3k-2

)，
所以

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

1

3

(1-

1

3n-2

)＜

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列、不等式知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．