Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．

(Ⅰ)證明：AB₁⊥BC₁；

(Ⅱ)求二面角C-AC₁-B的大��；

(Ⅲ)求點B到平面AB₁C_l的距離．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，所以CC₁⊥AC，

因為BC=CC₁，所以BCC₁B₁為正方形，

又∠ACB=90°，所以AC⊥BC，

所以AC⊥平面BCC₁B₁，

連結(jié)B₁C，則B₁C為AB₁在平面BCC₁B₁上的射影，

因為B₁C⊥BC₁，所以AB₁⊥BC₁.

(Ⅱ)連A₁C交AC₁于點H，連BH，因為BC⊥AC,

BC⊥CC₁，BC⊥平面ACC₁A₁，

所以CH為BH在平面ACC₁A₁上的射影，

因為四邊形ACC₁A₁為正力形，所以CH⊥AC₁，所以BH⊥AC₁，

所以，∠CHB為二面角C-AC₁-D的平面角．

在直角△BCH中，CH=，BC=2，所以tan∠CHB=，

所以，二面角C-AC₁-B的大小為arctan．

(Ⅲ)因為BC∥B₁C₁，BC面AB₁C₁，所以BC∥面AB₁C₁，所以點B到平面AB₁C₁的距離等于點C到平面AB₁C₁的距離．

因為BC⊥CH，所以B₁C₁⊥CH，

又CH⊥AC₁，所以CH⊥平面AB₁C₁，

所以CH的長度為點置到平面AB₁C₁的距離，

CH=A₁C=．

解法二：(Ⅰ)如圖建立直角坐標系，其中C為坐標原點．

依題意A(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)(2分)

因為=(-2，2，2)·(0，-2，2）=0，

所以AB₁⊥BC₁(4分)

(Ⅱ)因為BC⊥AC，BC⊥CC₁，所以為平面ACC₁的法向量，=(0，2，0)，(5分)

設n₁=(x_l，y₁，z₁)是平面ABC₁的法向量，

由n₁·=0，n₁·=0，得

所以

令z₁=1，則n₁=(1，1,1)，

因為cos＜,n₁＞=，

所以，二面角C-AC₁-B的大小為arocos.

(Ⅲ)設n₂=(x₂,y₂,z₂)是平面AB₁C₁的法向量，

由n₂·=0，n₂·=0，得

所以

令z₂=l，則n₂=(1，0，1)，(11分)

因為=(-2，2，0)，所以，B到平面AB₁C₁的距離為d=．