Question

已知函數(shù)f(x)=alnx-

1

x

，a∈R．
（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，求a的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）求得函數(shù)f（x）的定義域，求導函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，即可求a的值；
（II）由于f′(x)=

ax+1

x2

，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′(x)=

a

x

+

1

x2

．
又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，所以f′（1）=a+1=2．解得a=1．
（II）由于f′(x)=

ax+1

x2

．
當a≥0時，對于x∈（0，+∞），有f′（x）＞0在定義域上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
當a＜0時，由f′（x）=0，得x=-

1

a

∈（0，+∞）；
當x∈（0，-

1

a

）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當x∈(-

1

a

，+∞)時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．