Question

已知函數f（x）=lnx-x+ax²．
（I）試確定實數a的取值范圍，使得函數f（x）在定義域內是單調函數；
（II）證明：＞．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）使得函數f（x）在定義域內是單調函數，則有f′（x）≥0或f′（x）≤0在定義域內恒成立，由此可求a的范圍；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）問結論，令a=1，此時f（x）＜0對x∈（0，1）恒成立，由此構造不等式，再令x=，對進行放縮變形即可．
解答：（Ⅰ）解：定義域為（0，+∞）．f′（x）==．
令g（x）=2ax²-x+1，
∵g（0）=1，∴g（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立．即對x∈∈（0，+∞）恒成立．
令h（x）==-=-．
∴a≥，此時f（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數．
（Ⅱ）證明：取a=1，由（Ⅰ）知此時f（x）在（0，1）上為單調遞增函數．
∵f（1）=0，∴f（x）＜0對x∈（0，1）恒成立，即x-lnx＞x²．
取x=，∵∈（0，1），∴．
∴＞＞==-=．
點評：本題考查導數的應用，一是研究函數單調性，二是證明不等式，證明不等式的關鍵是利用條件恰當構造不等式，對能力要求較高．