Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=-n²+24n(n∈N^*).

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)a_n;

(2)當(dāng)n為何值時(shí),S_n達(dá)到最大?最大值是多少?

Answer 1

解:(1)當(dāng)n≥2時(shí),a_n=S_n-S_n-1=-n²+24n-［-(n-1)²+24(n-1)］=-n²+(n-1)²+24n-24(n-1)

=-2n+1+24=-2n+25.

當(dāng)n=1時(shí),a₁=S₁=-1+24=23=-2·1+25.

這說(shuō)明a₁=23也適合公式a_n=-2n+25,故該數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=-2n+25(n∈N^*).

(2)由(1)知a_n=-2n+25,由于-2<0,∴數(shù)列{a_n}是遞減的.但它的前面若干項(xiàng)均大于零,要想使S_n達(dá)到最大,需先求使a_n≥0的n.

由-2n+25≥0n≤.又∵n∈N^*,∴n=1,2,…,12,

即{a_n}的前12項(xiàng)均大于零.∴當(dāng)n=12時(shí),S₁₂達(dá)到最大.S₁₂=-12²+24×12=12(24-12)=12²=144