Question

3．已知過點(diǎn)A（0，1）的直線l，斜率為k，與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N兩個(gè)不同點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k取值范圍；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得，直線l的斜率存在，用點(diǎn)斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．
（Ⅱ）由題意可得，經(jīng)過點(diǎn)M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程化簡，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，可得y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）的值，由x₁•x₂+y₁•y₂=12，解得k的值，從而求|MN|．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，直線l的斜率存在，
設(shè)過點(diǎn)A（0，1）的直線方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)（2，3），半徑R=1．
故由$\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，解得：$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．
故當(dāng)$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$時(shí)，過點(diǎn)A（0，1）的直線與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅱ）由題意可得，經(jīng)過點(diǎn)M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，
可得 （1+k²）x²-4（k+1）x+7=0，
設(shè)M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4（k+1）}{{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{7}{{k}^{2}+1}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{{k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{7}{{k}^{2}+1}$+$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{{k}^{2}+1}$=12，解得k=1，
∴|MN|=$\sqrt{2}•\sqrt{{4}^{2}-4•\frac{7}{2}}$=2．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．