Question

如圖1-1-2，圓O₁與圓O₂的半徑都是1，|O₁O₂|=4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O₁、圓O₂的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），使得PM=PN,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

圖1-1-2

Answer 1

思路分析：本題利用數(shù)形結(jié)合思想、勾股定理、兩點(diǎn)間距離公式等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，及分析推理、計(jì)算化簡(jiǎn)技能、技巧等，是一道很綜合的題目.由題意建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，由幾何關(guān)系式PM=PN，即(PM)²=2(PN)²，結(jié)合圖形由勾股定理轉(zhuǎn)化為PO₁²-1=2(PO₂²-1)，設(shè)P(x，y),由距離公式寫出代數(shù)關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理可得.

圖1-1-3

解：如圖1-1-3，以直線O₁O₂為x軸，線段O₁O₂的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則兩圓心的坐標(biāo)分別為O₁(-2,0),O₂(2,0).

設(shè)P(x,y)，則PM²=PO₁²-MO₁²=(x+2)²+y²-1.

同理,PN²=(x-2)²+y²-1.

∵PM=PN，∴(x+2)²+y²-1=2［(x-2)²+y²-1］，

即x²-12x+y²+3=0，即(x-6)²+y²=33,這就是動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

    深化升華 在求軌跡方程時(shí),首先能夠建立一個(gè)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.同一幾何圖形的方程在不同坐標(biāo)系中具有不同的形式.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使表示圖形的方程具有更方便的形式.