Question

已知函數(shù)在（x，0）處的切線斜率為零．
（Ⅰ）求x和b的值；
（Ⅱ）求證：在定義域內f（x）≥0恒成立；
（Ⅲ） 若函數(shù)有最小值m，且m＞2e，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，由函數(shù)在（x，0）處的切線斜率為零，即可求x和b的值；
（Ⅱ）確定f（x）在（0，e）單調遞減，在（e，+∞）單調遞增，可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值，即可證得結論；
（Ⅲ）由（x＞0），分類討論，利用基本不等式及函數(shù)的單調性，結合函數(shù)有最小值m，且m＞2e，即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：（Ⅰ）解：求導函數(shù)可得．…（2分）
由題意有f'（x）=0，即，解得x=e或x=-3e（舍去）．…（4分）
∴f（e）=0即，解得．            …（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，
f'（x）=．
在區(qū)間（0，e）上，有f'（x）＜0；在區(qū)間（e，+∞）上，有f'（x）＞0．
故f（x）在（0，e）單調遞減，在（e，+∞）單調遞增，
于是函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（e）=0．                       …（9分）
故當x＞0時，有f（x）≥0恒成立．                                   …（10分）
（Ⅲ）解：（x＞0）．
當a＞3e²時，則，當且僅當時等號成立，
故F（x）的最小值＞2e，符合題意；                  …（13分）
當a=3e²時，函數(shù)F（x）=x+2e在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，不存在最小值，不合題意；
當a＜3e²時，函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，不存在最小值，不合題意．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（3e²，+∞）．                                    …（14分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性與最值，考查分類討論的數(shù)學思想，正確求函數(shù)的最值是關鍵．