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已知函數(shù)f(x)=lnx+a,其中a為大于零的常數(shù).

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)求證：對(duì)于任意的n∈N*,且n>1時(shí),都有l(wèi)nn>++…+恒成立.

 

（1）(0,1] （2）見(jiàn)解析

【解析】(1)f′(x)=(x>0),

由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x在[1,+∞)上恒成立,又因?yàn)楫?dāng)x∈[1,+∞)時(shí),x≥1,

所以a≤1,即a的取值范圍為(0,1].

(2)由(1)知函數(shù)f(x)=lnx+-1在[1,+∞)上為增函數(shù),

當(dāng)n>1時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719492517566651/SYS201411171949279100385478_DA/SYS201411171949279100385478_DA.003.png">>1,所以f>f(1),

即lnn-ln(n-1)>,對(duì)于n∈N*,且n>1恒成立,

lnn=[lnn-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln 1]>++…++,所以對(duì)于n∈N*,且n>1時(shí),lnn>++…+恒成立.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*，則S10的值為(　　)

A．－110 B．－90 C．90 D．110

 

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下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=+的四個(gè)命題：

p1：|z|=2;p2：z2=4i;p3：=2i;p4：z的虛部是0,其中的真命題為(　　)

A.p1,p2 B.p1,p3 C.p2,p3 D.p3,p4

 

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(2014·天門(mén)模擬)在區(qū)間[0,4]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)a,b,則使得函數(shù)f(x)=x2+ax+b2有零點(diǎn)的概率為_(kāi)_______.

 

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(2014·武漢模擬)如圖面積為4的矩形ABCD中有一個(gè)陰影部分,若往矩形ABCD投擲1000個(gè)點(diǎn),落在矩形ABCD的非陰影部分中的點(diǎn)數(shù)為400個(gè),試估計(jì)陰影部分的面積為(　　)

A.2.2 B.2.4

C.2.6 D.2.8

 

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對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定義：f′′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f′′(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱(chēng)點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有′拐點(diǎn)′;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心,且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱(chēng)中心”.請(qǐng)你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件,則函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x的對(duì)稱(chēng)中心為_(kāi)_________.

 

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(2013·隨州模擬)變量x,y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3|x|+|y-3|的取值范圍是(　　)

A. B. C.[-2,3] D.[1,6]

 

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(2014·武漢模擬)圓(x-a)2+y2=1與雙曲線(xiàn)x2-y2=1的漸近線(xiàn)相切,則a的值是________.

 

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設(shè)函數(shù)f(x)=log3(9x)·log3(3x),≤x≤9.

(1)若m=log3x,求m的取值范圍.

(2)求f(x)的最值,并給出最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.

 

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