Question

已知函數(shù)y=f(x)在定義域（-1+∞）內(nèi)滿足f(0)=0，且f′(x)=，(f′(x))是f(x)的導(dǎo)數(shù)）
（Ⅰ）求f(x)的表達(dá)式.
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性
（Ⅲ）設(shè)h(x)=（e^x-P）²＋（x－P）²，證明：h(x)≥

Answer 1

解：（Ⅰ）由f′(x)＝，可得f(x)=ln(1+x)-ax+b，b為實(shí)常數(shù).
又f(0)＝0b＝0.
∴f(x)＝ln(1+x)-ax.
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)= ln(1+x)-x.  (x＞－1)
f′(x)＝  
∵x＞－1  由f′(x)＝0x＝0  
∴當(dāng)x∈（－1，0]時(shí)f′(x)≥0，此時(shí)f(x)遞增
當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，f′(x)＜0，此時(shí)f(x)遞減
即f(x)在（－1，0）上單調(diào)增，在（0，＋∞）上單調(diào)減
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f(x)≤f(0)＝0在（－1，＋∞）內(nèi)恒成立
∴l(xiāng)n (1＋x) ≤x，∴e^x≥1＋x e^x－x≥1    
∴（e^x－x）²≥1
∴≤≤（e^x－P）²＋（P－x）²
即h(x)＝（e^x－P）²＋（P－x）²≥