Question

17．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，且向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$互相垂直．
（Ⅰ）若向量$\overrightarrow{c}$=3k$\overrightarrow{a}$+4k$\overrightarrow$（k∈R），且|$\overrightarrow{c}$|=12$\sqrt{2}$，求|k|的值；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）$⊥（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）$，求|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐標(biāo)系設(shè)出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$坐標(biāo)，用|$\overrightarrow{c}$|=12$\sqrt{2}$，求出|k|的值；
（Ⅱ）利用向量垂直數(shù)量積為0，得到$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)關(guān)系式，利用其幾何意義求最值．

解答 解：據(jù)題意：建立坐標(biāo)系．不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（4，0），$\overrightarrow$=（0，3），------（2分）
（Ⅰ） 向量$\overrightarrow{c}$=3k$\overrightarrow{a}$+4k$\overrightarrow$=（12k，12k）
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（12k）^{2}+（12k）^{2}}$=12$\sqrt{2}$，------（4分）
解得|k|=1-----（6分）
（Ⅱ） 設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），則 由（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）$⊥（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）$，得到（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）$•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）$=（4-x）x-（y-3）y=0，------（8分）
即（x-2）²+（y-1.5）²=6.25．------（10分）
由此可以判定，向量$\overrightarrow{c}$的起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在以（2，1.5）為圓心，半徑為2.5的圓上，注意到原點(diǎn)也在此圓上，
所以，|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍[0，5]．------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計(jì)算以及向量垂直的性質(zhì)運(yùn)用，用到了幾何意義求模的范圍；屬于中檔題．