Question

判斷并證明函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax+a+1）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可討論該函數(shù)的單調(diào)性；

解答： 解：∵f（x）=e^x（x²+ax+a+1），∴f′（x）=[x²+（a+2）x+2a+1]e^x，
令f′（x）=0，得x²+（a+2）x+2a+1=0，
（1）當(dāng)△=（a+2）²-4（2a+1）=a²-4a=a（a-4）＞0，
即a＜0或a＞4時(shí)x²+（a+2）x+2a+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x_1，2=

-a-2± a2-4a

2

，于是x∈（-∞，

-a-2- a2-4a

2

）∪（

-a-2+ a2-4a

2

，+∞），f′（x）＞0，
x∈（

-a-2- a2-4a

2

，

-a-2+ a2-4a

2

）時(shí)，f′（x）＜0，
所以a＜0或a＞4時(shí)，f（x）在∈（-∞，

-a-2- a2-4a

2

）和（

-a-2+ a2-4a

2

，+∞）單調(diào)遞增，
在（

-a-2- a2-4a

2

，

-a-2+ a2-4a

2

）單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)△=0即a=0或a=4時(shí)，方程x²+（a+2）x+2a+1=0有兩個(gè)相同的實(shí)根，于是f′（x）≥0，f（x）在R單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)△＜0即0＜a＜4時(shí)x²+（a+2）x+2a+1＞0，f′（x）＞0，故f（x）為增函數(shù)．
綜上，當(dāng)0≤a≤4時(shí)，f（x）為增函數(shù)．
a＜0或a＞4時(shí)，f（x）在（-∞，

-a-2- a2-4a

2

）和（

-a-2+ a2-4a

2

，+∞）單調(diào)遞增，
在（

-a-2- a2-4a

2

，

-a-2+ a2-4a

2

）單調(diào)遞減；

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，做題時(shí)要注意對(duì)a進(jìn)行討論，最后得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．