Question

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)，存在實數(shù)x₀，使得對于任意實數(shù)x₁，x₂，總有f(x₀x₁+x₀x₂)=f(x₀)+f(x₁)+f(x₂)恒成立.

(Ⅰ)求x₀的值；

(Ⅱ )若f(x₀)=1，且對任意正整數(shù)n，有a_n=,b_n=f+1，記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1,

T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比較S_n與T_n的大小關系，并給出證明；

(Ⅲ )若不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞對任意不小于2的正整數(shù)n都成立，求x的取值范圍.

Answer 1

解:(Ⅰ)令x₁=x₂=0,得f(0)=f(x₀)+2f(0).

∴f(x₀)=-f(0).     ①

令x₁=1,x₂=0,得f(x₀)=f(x₀)+f(1)+f(0),

∴f(1)=-f(0).      ②

由①,②得  f(x₀)=f(1).

∵f(x)為單調(diào)函數(shù)，∴x₀=1. 

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)+f(1)

=f(x₁)+f(x₂)+1,

∵f(n+1)=f(n)+f(1)+1=f(n)+2,f(1)=1,∴f(n)=2n-1.    (n∈Z^*)

∴a_n=. 

又∵f(1)=f(+)=f()+f()=f(1)∴f()=0,b₁=f()+1.

又∵f()=f()=f()+f()=f(1)=2f()+1,

∴2b_n+1=2f()+2=f()+1=b_n.

∴b_n=()^n-1.

∴S_n=

=

=. 

T_n=()⁰()¹+()¹()²+…+()^n-1()ⁿ

=+()³+…+()²ⁿ⁺¹

=

=.

∴S_n-T_n=(1-)-

∵4ⁿ=(3+1)ⁿ=3ⁿ+3^n-1+…+3+≥3n+1＞2n+1,

∴S_n-T_n=()＜0.∴S_n＜T_n.

(Ⅲ)令F(n)=a_n+1+a_n+2+…a_2n,

則F(n+1)-F(n)=a_2n+1+a_2n+2-a_n-1

=＞0.

∴當n≤2,n∈N時,

F(n)＞F(n-1)＞…＞F(2)=a₃+a₄=.

∴＞.

即(x+1)-(9x²-1)＜2.

.解得.