Question

已知某幾何體的三視圖如下圖所示，其中俯視圖為正三角形,設(shè)D為AA₁的中點(diǎn).

（1）作出該幾何體的直觀圖并求其體積.

（2）求證：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁.

（3）BC邊上是否存在點(diǎn)P，使AP∥平面BDC₁？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）解：由題意可知該幾何體為直三棱柱,且它的直觀圖如圖所示.

∵S_△ABC=,h=3,∴V=3.

（2）證明：連結(jié)B₁C交BC₁于E點(diǎn),則E為B₁C、BC₁的中點(diǎn),連結(jié)DE.

∵AD=A₁D,AB=A₁C₁,∠BAD=∠DA₁C₁=90°,

∴△ABD≌△DA₁C₁.∴BD=DC₁.∴DE⊥BC₁.

同理,DE⊥B₁C,又∵B₁C∩BC₁=E,∴DE⊥平面BB₁C₁C.又∵DE平面BDC₁,

∴平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁.

（3）解：取BC的中點(diǎn)P,連結(jié)AP,則AP∥平面BDC₁,

證明：連結(jié)PE,則PE∥AD,且PE=AD,∴四邊形APED為平行四邊形.

∴AP∥DE.又DE平面BDC₁,AP平面BDC₁,∴AP∥平面BDC₁.