Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點處有共同的切線，求a的值和該切線方程；
（Ⅱ）設函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），當h（x）存在最小值時，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅲ）對（Ⅱ）中的φ（a）和任意的a＞0，b＞0，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)y=f（x）與y=g（x）交點處有共同的切線，建立方程組，解之可求出切點坐標，以及切線的斜率，從而求出切線方程；
（Ⅱ）由條件知，然后討論a的正負，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，從而求出求出h（x）的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知φ'（a）=-2ln2a，從而分別求出、、的值，然后利用基本不等式可得結論．
解答：解：（Ⅰ），
由已知得解得，
∴兩條直線交點的坐標為（e²，e），切線的斜率為，
∴切線的方程為
（Ⅱ）由條件知，
∴
（ⅰ）當a＞0時，令h'（x）=0，解得x=4a²，
∴當0＜x＜4a²時，h'（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上遞減；
當x＞4a²時，h'（x）＞0，h（x）在（4a²，+∞）上遞增
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一極值點，從而也是h（x）的最小值點
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a-aln4a²=2a（1-ln2a）
（ⅱ）當a≤0時，在（0，+∞）上遞增，無最小值，
故h（x）的最小值φ（a）的解析式為φ（a）=2a（1-ln2a）（a＞0）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知φ'（a）=-2ln2a
對任意的a＞0，b＞0①②
③
故由①②③得．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，同時考查了基本不等式的應用，以及計算能力，屬于中檔題．