Question

8．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{x-y≥1}\\{y≥-2}\end{array}\right.$，則$z={log_{13}}\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 y=log₁₃x在其定義域上是增函數(shù)，故轉(zhuǎn)化為求$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值，利用線性規(guī)劃求最值即可．

解答 解：由題意作平面區(qū)域如下，

結(jié)合圖象可知，
當(dāng)過點(diǎn)A（3，-2）時(shí)，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$取得最大值$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
此時(shí)$z={log_{13}}\sqrt{{x^2}+{y^2}}$有最大值log₁₃$\sqrt{13}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的作圖能力及線性規(guī)劃的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．