Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$+sinx（e為自然對數(shù)的底），則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上的大致圖象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′的解析式，再利用基本不等式求得在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上，y′＞0，可得函數(shù)y在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，結(jié)合所給的選項，得出結(jié)論．

解答 解：由函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$+sinx（e為自然對數(shù)的底），x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
 可得y′=$\frac{0{-2e}^{x}}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$+cosx≥$\frac{0{-2e}^{x}}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{-2e}^{x}+\frac{1}{2}{（e}^{2x}+{2e}^{x}+1）}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$≥$\frac{-{2e}^{x}+\frac{1}{2}•{4e}^{x}}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$=0，
而上述式子中的兩個等號不能同時成立，故有y′＞0，故函數(shù)y在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，
故選：A．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．