Question

12．下列命題正確是①③，（寫出所有正確命題的序號）
①若奇函數(shù)f（x）的周期為4，則函數(shù)f（x）的圖象關于（2，0）對稱；
②若a∈（0，1），則a^1+a＜a${\;}^{1+\frac{1}{a}}$；
③函數(shù)f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$是奇函數(shù)；
④存在唯一的實數(shù)a使f（x）=lg（ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析 ①，若奇函數(shù)f（x）的周期為4，則f（-x）=f（-x+4）=-f（x），則函數(shù)f（x）的圖象關于（2，0）對稱；
②，若a∈（0，1），1+a＜1+$\frac{1}{a}$則a^1+a＞a${\;}^{1+\frac{1}{a}}$；
③，函數(shù)f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$滿足f（x）+f（-x）=0，且定義域為（-1，1），f（x）是奇函數(shù)；
④，f（x）=lg（ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）為奇函數(shù)時（ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）（-ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）=1⇒a=±$\sqrt{2}$．

解答 解：對于①，若奇函數(shù)f（x）的周期為4，則f（-x）=f（-x+4）=-f（x），則函數(shù)f（x）的圖象關于（2，0）對稱，故正確；
對于②，若a∈（0，1），1+a＜1+$\frac{1}{a}$則a^1+a＞a${\;}^{1+\frac{1}{a}}$，故錯；
對于③，函數(shù)f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$滿足f（x）+f（-x）=0，且定義域為（-1，1），f（x）是奇函數(shù)，正確；
對于④，f（x）=lg（ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）為奇函數(shù)時，（ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）（-ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）=1⇒a=±$\sqrt{2}$，故錯．
故答案為：①③

點評 本題考查了命題真假的判定，屬于基礎題．