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如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2．

(Ⅰ)證明：平面PBE⊥平面PAB；

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大�。�

答案：
解析：

　　證：(Ⅰ)連結BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，

　　△BCD是等邊三角形．因為E是CD的中點，所以BE⊥CD，又AB∥CD，

　　所以BE⊥AB．又因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以

　　PA⊥BE，因此BE⊥平面PAB．

　　又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

　　解：(Ⅱ)延長AD、BE相交于點F，連結PF．

　　過點A作AH⊥PB于H，由(Ⅰ)知

　　平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE．

　　在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，

　　所以，AF＝2AB＝2＝AP．

　　在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG．

　　則AG⊥PF．連結HG，由三垂線定理的逆定理得，

　　PF⊥HG．所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(銳角)．

　　在等腰Rt△PAF中，

　　在Rt△PAB中，

　　

　　所以，在Rt△AHG中，

　　故平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是


練習冊系列答案
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精英家教網如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點．
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（2）二面角P-BC-D的正切值．

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11
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（2）平面EFG⊥平面PAB．

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（2）證明：BE⊥平面PDC；
（3）求三棱錐B-PDC的體積V．

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