Question

2．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為45°，對于任意實數(shù)t，|$\overrightarrow$+t$\overrightarrow{a}$|的最小值$\sqrt{10}$，則|$\overrightarrow$|=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為45°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow$|cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow$|，
對于任意實數(shù)t，|$\overrightarrow$+t$\overrightarrow{a}$|的最小值$\sqrt{10}$，
∴|$\overrightarrow$+t$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow$|²+t²|$\overrightarrow{a}$|²+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=t²+$\sqrt{2}$t|$\overrightarrow$|+|$\overrightarrow$|²=（t+$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow$|）²+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow$|²，
∴當t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow$|時，有最小值為$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow$|²=10，
∴|$\overrightarrow$|=2$\sqrt{5}$
故答案為：2$\sqrt{5}$

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，求向量的模，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題