Question

已知兩個(gè)方程x²+4x+4a=0①和x²+3x+6a=0②都有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,并且一個(gè)方程的任意一個(gè)根不在另一個(gè)方程的兩個(gè)根之間,試問滿足上述的實(shí)數(shù)a是否存在?若存在,求出實(shí)數(shù)a;若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解析：方程①有兩個(gè)不同的實(shí)根的充要條件是Δ=4²-4×4a＞0,即a＜1.?

方程②有兩個(gè)不同的實(shí)根的充要條件是Δ′=3²-4×6a＞0，即a＜.?

于是，當(dāng)a＜時(shí)，兩個(gè)方程都有不同的實(shí)根.?

在a＜的條件下，方程①的兩個(gè)根是

并且x₁＜x₂,方程②的兩個(gè)根是?

并且x₃＜x₄.?

要使一個(gè)方程的任意一個(gè)根不在另一個(gè)方程兩個(gè)根之間，a的值應(yīng)滿足下列兩組條件之一.

首先解x₂＜x₃的情形，即?

-2+2 ＜

 -1+4＜-,?

即4+＜1，兩邊平方，得

16-16a+9-24a+8＜1,??

8＜40a-24,?

即＜5a-3.③?

當(dāng)a＜時(shí)，5a-3＜0，從而不等式③無解.?

下面再解x₄＜x₁的情形，即?

＜-2-2,?

-3+＜-4-4，有＜-1-4.?④?

顯然，不等式④無解.?

結(jié)合以上各式可知，不存在滿足題目要求的a.