Question

2．已知函數(shù)$f（x）=sin（2x+\frac{π}{4}）+cos（2x-\frac{π}{4}），x∈R$．
（1）求$f（\frac{π}{2}）$的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）首先利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．
（2）利用正弦型函數(shù)的解析式，進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，最后利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）$f（x）=sin（2x+\frac{π}{4}）+cos（2x-\frac{π}{4}）$
=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x+\frac{\sqrt{2}}{2}cos2x$）
=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
所以：f（$\frac{π}{2}$）=2sin（π+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$．
（2）由于：x∈R，且f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
所以函數(shù)的值域?yàn)椋篺（x）∈[-2，2]．
令：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$
整理得：$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤kπ+\frac{π}{8}$，（k∈Z）
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$-\frac{3π}{8}+kπ，kπ+\frac{π}{8}$]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，利用正弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，利用整體思想求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．