Question

對任意函數f（x），x∈D，可按圖示構造一個數列發(fā)生器，其工作原理如下：
①輸入數據x∈D，經按列發(fā)生器，其工作原理如圖：
②若x₁∈D，則數列發(fā)生器結束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f（x₁），并依此規(guī)律繼續(xù)下去，現定義．
（Ⅰ）若輸入，則由數列發(fā)生器產生數列{x_n}．請寫出數列{x_n}的所有項：
（Ⅱ）若要數列發(fā)生器產生一個無窮的常數數列，試求輸入的初始數據x的值；
（Ⅲ）若輸入x時，產生的無窮數列{x_n}滿足；對任意正整數n，均有x_n＞x_n+1，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定f（x）的定義域，可得數列{x_n}只有三項；
（2）由，可得結論；
（3）解不等式，得x＜-1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2，從而可求x的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴數列{x_n}只有三項：．…（3分）
（2）∵，即x²-3x+2=0，
∴x=1，或x=2．
即當x=1或2時，．
故當x=1時，x_n=1；當x=2時，x_n=2（n∈N）．…（9分）
（3）解不等式，得x＜-1或1＜x＜2．
要使，x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2．…（12分）
對于函數，
若x₁＜-1，則x₂=f（x₁）＞4，x₃=f（x₂）＜x₂．…（15分）
當1＜x₁＜2時，x₂=f（x），且1＜x₂＜2，
依此類推，可得數列{x_n}的所有項均滿足x_n+1＞x_n（n∈N）．
綜上所述，x₁∈（1，2）．
由x₁=f（x），得x∈（1，2）．…（18分）
點評：本題考查數列與函數的綜合，考查新定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．