Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x，a≠0．
（1）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行理解，即h′（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax²+2x-1＞0在正數(shù)范圍內(nèi)至少有一個解，結(jié)合根的判別式列式，不難得到a的取值范圍；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得h′（x）≤0在[1，4]上恒成立，再由參數(shù)分離，運(yùn)用二次函數(shù)的最值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x（x＞0），
對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得h′（x）=-$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，（x＞0），
依題意，得h′（x）＜0在（0，+∞）上有解．即ax²+2x-1＞0在x＞0時有解．
①顯然a≥0時，不等式有解，
②a＜0時，需滿足△=4+4a＞0，解得a＞-1，
綜合①②得a＞-1，
即有a的取值范圍為（-1，+∞）；
（2）由于h′（x）=-$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，（x＞0），
由題意可得h′（x）≤0在[1，4]上恒成立．
即有ax²+2x-1≥0在[1，4]上恒成立．
即為a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$在[1，4]上恒成立．
由y=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，
由于x∈[1，4]，則$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{4}$，1]，
則有y∈[-1，-$\frac{7}{16}$]，
則a≥-$\frac{7}{16}$．
即有a的取值范圍是[-$\frac{7}{16}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和在某區(qū)間上單調(diào)的區(qū)別，同時考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題和易錯題．