Question

某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數(shù)）.

（1）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為A_n萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為B_n萬元（需扣除技術(shù)改造資金），求A_n、B_n的表達(dá)式.

（2）依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤？

Answer 1

思路點(diǎn)撥：(1)A_n、B_n是年數(shù)n的函數(shù)，又由于A_n、B_n都是“累計純利潤”,所以要分別進(jìn)行數(shù)列求和.

（2）實際上就是求B_n-A_n＞0時n的最小值.

解：（1）依題設(shè)，A_n=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n²；

B_n=500［(1+)+(1+)+…+(1+)］-600=500n--100.

（2）B_n-A_n=(500n--100)-(490n-10n²)=10n²+10n--100=10［n(n+1)--10］.

∵函數(shù)y=n(n+1)--10在（0，+∞）上為增函數(shù)，

當(dāng)1≤n≤3時，n(n+1)--10≤12--10＜0；

當(dāng)n≥4時，n(n+1)- -10≥20--10＞0.∴僅當(dāng)n≥4時，B_n＞A_n.

答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤.