Question

【題目】已知函數(shù)在上有最大值和最小值，設(shè)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求的值；

（2）若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）.

【解析】

試題(1)配方可得,當(dāng)時(shí),由函數(shù)的單調(diào)性可得和的方程組,解方程組可得,當(dāng)時(shí),,無(wú)最大值和最小值,不合題意,故;(2)由(1)得,問(wèn)題等價(jià)于在上有解,求二次函數(shù)區(qū)間的最值可得;(3)原方程可化為,令，則，由題意知有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且其中,解不等式可得.

試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，∴即解得;當(dāng)時(shí)，，無(wú)最大值和最小值；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，∴即解得∵，∴舍去，綜上，的值分別為.

（2）由（1）知，∴在上有解等價(jià)于在上有解，即在上有解，令，則，∵，∴，記，∵，∴，∴的取值范圍為。

（3）原方程可化為，令，則，由題意知有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且其中，記，則得.