Question

15．已知f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，證明f（x）+f（1-x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)表達(dá)式直接代入整理即可．

解答 證明∵f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{{2}^{1-x}+\sqrt{2}}$=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{x}}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$+$\frac{{2}^{x}}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$=$\frac{\sqrt{2}+{2}^{x}}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$=$\frac{\sqrt{2}+{2}^{x}}{\sqrt{2}（\sqrt{2}+{2}^{x}）}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故f（x）+f（1-x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)方程的證明，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．