Question

若對?x∈[-1，1]，不等式x²+mx+3m＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：通過y=x²+mx+3m，判斷開口方向，求出函數的對稱軸，利用二次函數的最值求解即可．

解答： 解：∵y=x²+mx+3m，x∈[-1，1]，y＞0恒成立．函數的對稱軸為x=-

m

2

，開口向上，
①當-

m

2

＜-1，即m＞2時，只需f（-1）＞0即可，
可得

m＞2 1-m+3m＞0

，解得m＞2．
②當-

m

2

＞1，即m＜-2時，只需f（1）＞0即可，
可得

m＜-2 1+m+3m＞0

，解得m∈∅．
③當-1≤-

m

2

≤1，即-2≤m≤2時，只需f（-

m

2

）＞0即可，
可得

-2≤m≤2 m2 4 - m2 2 +3m＞0

，解得0＜m≤2．
綜上實數m的取值范圍：（0，+∞）．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題的求解，分類討論以及轉化思想的應用，二次函數閉區(qū)間是的最值以及單調性的應用．