Question

17．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC，AB⊥AC，M、N、Q分別是CC₁，BC，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A₁B₁上運(yùn)動(dòng)，且A₁P=λA₁B₁．
（1）證明：無論λ取何值，總有AM⊥平面PNQ．
（2）若AC=1，試求三棱錐P-MNQ的體積．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出棱長(zhǎng)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積證得答案；
（2）把三棱錐P-MNQ的體積轉(zhuǎn)化為A₁-MNQ的體積，即N-A₁MQ的體積，則三棱錐P-MNQ的體積可求．

解答 （1）證明：

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=AB=AC=a，
則A（0，0，0），M（0，a，$\frac{a}{2}$），N（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，0$），Q（$0，\frac{a}{2}，0$），
A₁（0，0，a），B₁（a，0，a），
再設(shè)P（x，0，a），由A₁P=λA₁B₁，得$\overrightarrow{{A}_{1}P}=λ\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，
即（x，0，0）=λ（a，0，0），即x=λa，
∴P（λa，0，a），
∵$\overrightarrow{PN}=（\frac{a}{2}-λa，\frac{a}{2}，-a）$，$\overrightarrow{PQ}=（-λa，\frac{a}{2}，-a）$，$\overrightarrow{AM}=（0，a，\frac{a}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}=0，\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PQ}=0$，則AM⊥平面PNQ；
（2）解：由（1）可知，P在線段A₁B₁ 上移動(dòng)時(shí)三棱錐P-MNQ的體積一定，
不妨取A₁為P，由AA₁=AB=AC=1，得
${A}_{1}Q={A}_{1}M=\frac{\sqrt{5}}{2}$，MQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A₁到MQ的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴${S}_{△{A}_{1}MQ}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3}{8}$，QN=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$，
則${V}_{P-MNQ}={V}_{{A}_{1}-MNQ}$=${V}_{N-{A}_{1}QM}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}MQ}•QN=\frac{1}{3}×\frac{3}{8}×\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 利用向量知識(shí)解決立體幾何問題的優(yōu)點(diǎn)在于用代數(shù)化的方法解決立體幾何，解題的關(guān)鍵在于用坐標(biāo)表示空間向量，是中檔題．