Question

已知函數(shù)f(x)=|ex+

a

ex

|，(a∈R)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．a(chǎn)∈[0，1]

B．a(chǎn)∈（-1，0]

C．a(chǎn)∈[-1，1]

D．a(chǎn)∈（-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

分析：結(jié)合對(duì)勾函數(shù)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)性的性質(zhì)，分別討論a＞0，a=0，a＜0時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：當(dāng)a＞0時(shí)，y=ex+

a

ex

在（-∞，

1

2

lna]上為減函數(shù)，在[

1

2

lna，+∞）上為增函數(shù)，且y=ex+

a

ex

＞0恒成立
若函數(shù)f(x)=|ex+

a

ex

|，(a∈R)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
則y=ex+

a

ex

在[0，1]上單調(diào)遞增
則

1

2

lna≤0
解得a∈（0，1]
當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=|ex+

a

ex

|=ex在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，滿足條件
當(dāng)a＜0時(shí)，y=ex+

a

ex

在R單調(diào)遞增，令y=ex+

a

ex

=0，則x=ln

-a

則f(x)=|ex+

a

ex

|在（0，ln

-a

]為減函數(shù)，在[ln

-a

，+∞）上為增函數(shù)
則ln

-a

≤0，解得a≥-1
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1]
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中a＞0的關(guān)鍵是對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，a＜0時(shí)的關(guān)鍵是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，另外熟練掌握函數(shù)解析式加絕對(duì)值后對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響也是解答的關(guān)鍵．