Question

設(shè)圓C ：（x-1 ）²+y² =1 ，過原點O 作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

解：如圖所示

設(shè)OQ為過點O的-條弦，P(x，y)為其中點，則CP⊥OQ.：
解法一：直接法，因OC中點為，
故|MP|=，得軌跡方程為，
由圓的范圍知0<x≤1.
解法二：定義法，∵∠OPC=90°，
∴動點P在以點M為圓心，OC為直徑的圓上，
由圓的方程得
解法三：代入法，設(shè)Q（x₁，y₁），
則
又∵，
∴（2x-1）²+(2y)²=1（0<x≤1）．
解法四：參數(shù)法，設(shè)動弦OQ的方程為y=kx，
代入圓的方程得（x-1）²+k²x²=1，即（1+k²）x²-2z=0,
∴，
消去k即可得到（2x-1）²+(2y)²=1(0<x1）．