Question

6．設(shè)拋物線$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，p＞0）的焦點(diǎn)為F（1，0），過(guò)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且滿足|AF|=3|BF|，則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)|BF|=m，由拋物線的定義知AA₁和BB₁，進(jìn)而可推斷出AC和AB，及直線AB的斜率，則直線AB的方程可得，與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而跟韋達(dá)定理求得x₁+x₂的值，則根據(jù)拋物線的定義求得弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．

解答 解：拋物線$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，p＞0）的焦點(diǎn)為F（1，0），普通方程為y²=4x，
設(shè)|BF|=m，由拋物線的定義知
|AA₁|=3m，|BB₁|=m
∴△ABC中，|AC|=2m，|AB|=4m，k_AB=$\sqrt{3}$
直線AB方程為y=$\sqrt{3}$（x-1）
與拋物線方程聯(lián)立消y得3x²-10x+3=0
所以AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為$\frac{5}{3}$+1=$\frac{8}{3}$．
故答案為：$\frac{8}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了直線與拋物線的關(guān)系及焦點(diǎn)弦的問(wèn)題．常需要利用拋物線的定義來(lái)解決．