Question

【題目】對于棱長為的正方體，有如下結論，其中錯誤的是（ ）

A. 以正方體的頂點為頂點的幾何體可以是每個面都為直角三角形的四面體；

B. 過點作平面的垂線，垂足為點，則三點共線；

C. 過正方體中心的截面圖形不可能是正六邊形；

D. 三棱錐與正方體的體積之比為．

Answer 1

【答案】C

【解析】

在正方體中可找到四面體各個面都是直角三角形，排除；利用線面垂直判定定理可證出平面，從而可知三點共線，排除；在圖形中可找到截面圖形為正六邊形的情況，可知結果為；利用切割的方法求得，從而可求得所求體積之比，排除.

在如下圖所示的正方體中：

四面體的四個面均為直角三角形，可知正確；

， 平面

又

，即

平面，即過作平面的垂線即為

三點共線，可知正確；

若為所在棱的中點，連接后可知六邊形為正六邊形且此正六邊形過正方體的中心，可知錯誤；

三棱錐體積：

正方體體積：

三棱錐與正方體的體積之比為：，可知正確.

本題正確選項：