Question

過定點(diǎn)A（-2，-1），傾斜角為45°的直線與拋物線y=ax²交于B、C，且|BC|是|AB|、?|AC|的?等比中項(xiàng)，求拋物線方程.

Answer 1

解：設(shè)A（-2，-1），B（x₁,y₁），C（x₂,y₂）在x軸上的射影分別為A′（-2，0），B′（x₁,0）,?C′（x₂,0）

∵|BC|²=|AB|·|AC|,?

∴|B′C′|²=|A′B′|·|A′C′|.?

于是有|x₁-x₂|²=（x₁+2）（x₂+2）.                             ①?

直線AC的方程為y=x+1，代入y=ax²并整理得

ax²-x-1=0，

∴    x₁+x₂=,x₁x₂=-.                                                 ②?

把②代入①得a=1或a=-.?

當(dāng)a=1時(shí)，方程ax²-x-1=0的判斷式Δ＞0；?

當(dāng)a=-時(shí)，Δ=0，B、C重合，不合題意，舍去.?

∴拋物線方程為y=x².