Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若，對于任意的，求證：；

（Ⅱ）若函數(shù)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 當(dāng)時，，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的最小值，又由于，，即可得到結(jié)論；（Ⅱ）由，設(shè)．令，即，設(shè)函數(shù)．求出的解為．然后再利用導(dǎo)數(shù) 求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的極值，即可求出結(jié)果．

試題解析：【解析】
(Ⅰ) 當(dāng)時，，．

令，解得．

當(dāng)時，，所以函數(shù)在是減函數(shù)；

當(dāng)時，，所以函數(shù)在為增函數(shù)．

所以函數(shù)在處取得最小值，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020306052743875919/SYS201502030606312067997148_DA/SYS201502030606312067997148_DA.004.png">，，所以對任意，都有．

即對任意，． 6分

（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020306052743875919/SYS201502030606312067997148_DA/SYS201502030606312067997148_DA.027.png">．

又,設(shè)．

令，即，設(shè)函數(shù)．

令，則．

當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)；

當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)；

所以．則時，．

于是，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，

即函數(shù)至少有一個零點(diǎn)，也就是方程至少有一個實(shí)數(shù)根．

當(dāng)時，有且只有一個零點(diǎn)，

所以恒成立，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，不合題意，舍去．

即當(dāng)時，函數(shù)不是單調(diào)增函數(shù)．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020306052743875919/SYS201502030606312067997148_DA/SYS201502030606312067997148_DA.046.png">不恒成立，

所以為所求． 13分．

考點(diǎn)： 1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．2．導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用．