Question

16．設a，b∈R⁺，且a+b=2則ab²的最大值為$\frac{4\sqrt{6}}{9}$．

Answer 1

分析 化簡得a=2-b，0＜b＜2；從而可得f（b）=ab²=（2-b）b²=-b³+2b，f′（b）=-3b²+2=-3（b+$\frac{\sqrt{6}}{3}$）（b-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），從而求得．

解答 解：∵a，b∈R₊且a+b=2，
∴a=2-b，0＜b＜2；
f（b）=ab²=（2-b）b²=-b³+2b，
f′（b）=-3b²+2=-3（b+$\frac{\sqrt{6}}{3}$）（b-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
故f（b）在（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）上是增函數，
在（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，2）上是減函數；
故ab²的最大值是f（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{4\sqrt{6}}{9}$
故答案為：$\frac{4\sqrt{6}}{9}$．

點評 本題考查了導數的綜合應用及單調性的判斷與應用．