Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，x軸是函數(shù)圖象的一條切線．
（1）求a；
（2）已知x∈（0，+∞），求證：ln（$\frac{x+1}{x}$）＞$\frac{1}{x+1}$；
（3）已知：n∈N，n≥2，求證：lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）由x軸是函數(shù)f（x）圖象的一條切線，得0是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，由導(dǎo)數(shù)可得x=a是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則由f（a）=0求得a值；
（2）由（1）得：f（x）=lnx+$\frac{1}{x}-1$=$\frac{1-x}{x}$+lnx在（1，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合f（1）=0，得到lnx＞1-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，以$\frac{x+1}{x}$替換x得答案；
（3）由lnx＞1-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，得ln2＞$\frac{1}{2}$，ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{3}$，ln$\frac{4}{3}$＞$\frac{1}{4}$，…，ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$，累加得：ln2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n}{n-1}$=lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$．

解答 （1）解：由f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，得f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
∵x軸是函數(shù)f（x）圖象的一條切線，
∴0是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，無(wú)極值；
∴a＞0．
當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴x=a為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則f（a）=$lna+\frac{a}{a}-1=0$，即a=1；
（2）證明：由（1）得：f（x）=lnx+$\frac{1}{x}-1$=$\frac{1-x}{x}$+lnx在（1，+∞）上為增函數(shù)，
又由f（1）=0，
故f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx＞0在（1，+∞）上恒成立，
即lnx＞$\frac{x-1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)nx＞1-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，
由x＞0，得$\frac{x+1}{x}＞1$，
∴$ln（\frac{x+1}{x}）＞1-\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=1-\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x+1}$；
（3）證明：∵lnx＞1-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)n2＞$\frac{1}{2}$，
ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{3}$，
ln$\frac{4}{3}$＞$\frac{1}{4}$，
…，
ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$，
累加得：ln2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n}{n-1}$=lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．