Question

18.如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60,PA=AC=a,

PB=PD=a,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（Ⅱ）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的正切值.

Answer 1

18.（Ⅰ）證法一　因?yàn)榈酌?I>ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a.

在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²，知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD.所以PA⊥平面ABCD.

因?yàn)?SUB>=++

=2++

=（+）+（+）

=+.

所以、、共面.

又PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.

證法二　同證法一得PA⊥平面ABCD.

連結(jié)BD，設(shè)BD∩AC=O，則O為BD的中點(diǎn).

連結(jié)OE，因?yàn)?I>E是PD的中點(diǎn)，所以PB∥OE.

又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB∥平面EAC.

（Ⅱ）解　作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，

知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角θ的平面角.

又E是PD的中點(diǎn)，從而G是AD的中點(diǎn)，

EG=a，AG=a，GH=AGsin60°=a.

所以tanθ==.