Question

7．已知拋物線C：y²=2px上一點(diǎn)$A（{\frac{1}{2}，a}）$到焦點(diǎn)F距離為1，
（1）求拋物線C的方程；
（2）直線l過點(diǎn)（0，2）與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若OM⊥ON，求直線的方程．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義建立方程，求出p，即可求出拋物線C的方程；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{y^2}=2x\end{array}\right.$得ky²-2y+4=0，利用OM⊥ON，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，即x₁•x₂+y₁•y₂=0，求出k，即可求直線的方程．

解答 解：（1）依據(jù)拋物線的定義知：A到拋物線焦點(diǎn)F的距離為$AF=\frac{1}{2}+\frac{p}{2}=1$，
所以p=1，拋物線的方程為y²=2x；---------（5分）
（2）依題意，直線l的方程設(shè)為y=kx+2（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{y^2}=2x\end{array}\right.$得ky²-2y+4=0，
由△=4-16k＞0，得$k＜\frac{1}{4}$；${y_1}{y_2}=\frac{4}{k}$--------（7分）
∵OM⊥ON，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，即x₁•x₂+y₁•y₂=0---------（9分）
∴$\frac{{{{（{{y_1}{y_2}}）}^2}}}{4}+{y_1}{y_2}=0$，即$\frac{16}{{4{k^2}}}+\frac{4}{k}=0$，解得k=-1---------（11分）
所以直線l的方程為y=-x+2，即x+y-2=0---------1（2分）

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查直線與拋物線相交后的一系列問題，其中涉及到韋達(dá)定理的考查，在交點(diǎn)問題的求法中應(yīng)用很廣泛，需要理解記憶．