Question

已知集合A={x|x²-4ax+2a+6=0，x∈R}，集合B={x|x＜0}，若A∩B≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（法1）：由A∩B≠∅，可得方程x²-4ax+2a+6=0有負根，分類討論，（1）恰有一個負根：（2）恰有2個負根，結(jié)合二次方程的性質(zhì)可求
（法2）：由x²-4ax+2a+6=0有負根可得以（x＜0）有解，構(gòu)造函數(shù)（x＜0），令t=4x-2＜-2，換元得y==，結(jié)合基本不等式可求y的范圍，進而可求a的范圍
解答：解：（法1）：因為A∩B≠∅，所以方程x²-4ax+2a+6=0有負根；…（1分）
設(shè)方程的根為x₁，x₂
（1）恰有一個負根：或…（3分）
解得：或…（5分）
即a≤-3…（6分）
（2）恰有2個負根…（7分）
解得：…（8分）
即-3＜a≤-1…（9分）
所以a的取值范圍是{a|a≤-1}…（10分）
（法2）：因為x²-4ax+2a+6=0有負根，所以（x＜0）有解，
設(shè)（x＜0），
令t=4x-2＜-2，換元得y==≤-1
所以a≤-1
點評：本題主要考查了二次方程的根的分布，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應用，體現(xiàn)了分類討論思想的應用，還要注意基本不等式在求解函數(shù)的值域中的應用．