Question

如圖，點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.

Answer 1

解:（1）由已知可得點(diǎn)A（-6，0），F（4，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x,y）,則=（x+6,y）, =（x-4,y）.?

由已知得則2x²+9x-18=0,x=或x=-6.?

由于y＞0，只能x=,于是y=.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（,）.?

（2）直線AP的方程是x-y+6=0.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（m,0），則M到直線AP的距離是，于是=|m-6|,又-6≤m≤6,解得m=2，橢圓上的點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)M的距離d有

d²=(x-2)²+y²?

=x²-4x+4+20-x²=(x-)²+15,?

由于-6≤x≤6,

∴當(dāng)x=時(shí)d取最小值.