Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與圓M：x²+y²-2mx+1=0（m＞1）在第一象限的公共點為A，且圓M在點A處的切線l過橢圓C的左焦點F₁．
（1）若點A（1，2），求橢圓C左焦點F₁的坐標；
（2）若以AF₁為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右焦點F₂．
①求橢圓C的焦距；
②若圓心M在橢圓內(nèi)，求證：橢圓C的離心率e＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）A在圓上，坐標帶入圓的方程，便可得出m=3，從而得出圓的方程：（x-3）²+y²=8，從而可以寫出過A（1，2）的圓的切線方程，而根據(jù)題意知，該切線和x軸的交點便是左焦點F₁的坐標，這樣求出該坐標即可；
（2）①根據(jù)已知條件便知，F(xiàn)₁F₂⊥AF₂，從而方程x=c聯(lián)立橢圓的方程即可得出A的坐標，A$（c，\frac{^{2}}{a}）$，從而可以寫出過該點的圓的切線方程，而該切線過左焦點F₁（-c，0），帶入切線方程，便能夠求出c=1；
②上面得到了$A（1，\frac{^{2}}{a}）$，該點在圓上，從而可帶入圓的方程可以求出$m=\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{1}{2{a}^{2}}$，而根據(jù)圓心在橢圓內(nèi)，便有m＜a，帶入m便可得到2a³-a⁴＞1，進一步便得到a³（2-a）＞1，從而需滿足2-a＞0，這樣便可得到e=$\frac{c}{a}＞\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）A（1，2）為橢圓和圓的公共點，∴帶入圓的方程得：
1+4-2m+1=0；
∴m=3；
∴圓M的方程為：（x-3）²+y²=8；
∴過A（1，2）的圓M的切線方程為：（x-3）•（1-3）+y•2=8；
∴該切線和x軸交點為（-1，0）；
即F₁（-1，0）；
（2）①以AF₁為直徑的圓過右焦點F₂；
∴F₁F₂⊥AF₂；
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{x=c}\end{array}\right.$得，y=$±\frac{^{2}}{a}$；
∴$A（c，\frac{^{2}}{a}）$；
∴過點A的切線方程為；
$（x-m）（c-m）+y•\frac{^{2}}{a}={m}^{2}-1$；
左焦點F₁（-c，0）在切線上；
∴（-c-m）（c-m）+0=m²-1；
∴c=1；
∴橢圓C的焦距為2；
②∴$A（1，\frac{^{2}}{a}）$，點A在圓上，所以：
$1+\frac{^{4}}{{a}^{2}}-2m+1=0$；
∴$m=1+\frac{（{a}^{2}-1）^{2}}{{2a}^{2}}=1+\frac{{a}^{4}-2{a}^{2}+1}{2{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{1}{2{a}^{2}}$；
∵圓心在橢圓內(nèi)；
∴m＜a；
∴$\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{1}{2{a}^{2}}＜a$；
∴2a³-a⁴＞1；
∴a³（2-a）＞1；
∴2-a＞0，2＞a；
∴$\frac{1}{a}＞\frac{1}{2}$；
c=1，∴$\frac{c}{a}＞\frac{1}{2}$；
即橢圓的離心率e$＞\frac{1}{2}$．

點評 考查橢圓、圓的標準方程，橢圓的焦點的概念及表示，過圓上一點的切線方程的求法，直線和x軸交點的求法，直徑所對圓周角為直角，m＜a條件的應(yīng)用，以及橢圓的離心率的概念及計算公式．