Question

6．某基建公司年初以100萬元購進(jìn)一輛挖掘機(jī)，以每年22萬元的價格出租給工程隊(duì)．基建公司負(fù)責(zé)挖掘機(jī)的維護(hù)，第一年維護(hù)費(fèi)為2萬元，隨著機(jī)器磨損，以后每年的維護(hù)費(fèi)比上一年多2萬元，同時該機(jī)器第x（x∈N^*，x≤16）年末可以以（80-5x）萬元的價格出售．
（1）寫出基建公司到第x年末所得總利潤y（萬元）關(guān)于x（年）的函數(shù)解析式，并求其最大值；
（2）為使經(jīng)濟(jì)效益最大化，即年平均利潤最大，基建公司應(yīng)在第幾年末出售挖掘機(jī)？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得總利潤y等于總收入減去總成本（固定資產(chǎn)加上維護(hù)費(fèi)），結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到最大值；
（2）求得年平均利潤為$\frac{y}{x}$，再由基本不等式，結(jié)合x為正整數(shù)，加上即可得到最大值，及對應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）y=22x+（80-5x）-100-（2+4+…+2x）=-20+17x-$\frac{1}{2}$x（2+2x）
=-x²+16x-20=-（x-8）²+44（x≤16，x∈N），
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x=8時，y_max=44，
即有總利潤的最大值為44萬元；
（2）年平均利潤為$\frac{y}{x}$=16-（x+$\frac{20}{x}$），設(shè)f（x）=16-（x+$\frac{20}{x}$），x＞0，
由x+$\frac{20}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{20}{x}}$=4$\sqrt{5}$，當(dāng)x=2$\sqrt{5}$時，取得等號．
由于x為整數(shù)，且4＜2$\sqrt{5}$＜5，f（4）=16-（4+5）=7，f（5）=7，
即有x=4或5時，f（x）取得最大值，且為7萬元．
故使得年平均利潤最大，基建公司應(yīng)在第4或5年末出售挖掘機(jī)．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的模型的運(yùn)用，考查最值的求法，注意運(yùn)用單調(diào)性和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．