Question

已知以原點(diǎn)為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)。

（Ⅰ）若的坐標(biāo)分別是，求的最大值；

（Ⅱ）如題（20）圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，是點(diǎn)在軸上的射影，點(diǎn)滿足條件：，，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程。

Answer 1

（Ⅰ）4   （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為（a ＞b＞ 0 ）。

設(shè)，由準(zhǔn)線方程得，由得，解得 a = 2 ，c = ，從而 b = 1，橢圓方程為。

又易知C，D兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以,。

從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為　時(shí)上式取等號(hào)，的最大值為4。

（II）如答（20）圖，設(shè)，。

因?yàn)?img width=169 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/161/391761.gif">，故

       ①

 因?yàn)?img width=80 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/164/391764.gif">

 

所以   .     ②

記P點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?i>P是BQ的中點(diǎn)

所以    

由因?yàn)?nbsp; ，結(jié)合①，②得

      

      

      

故動(dòng)點(diǎn)P的估計(jì)方程為

。