Question

橢圓的長軸為AB，P為橢圓上任一點(diǎn)，引AQ⊥AP，BQ⊥BP，AQ與BQ的交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的軌跡．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)橢圓方程＝1，則 　　A(－a，0)、B(a，0)又設(shè)P(x，y)，則 　　kAP·kBP＝·＝ 　�。�． 　　又∵AQ⊥AP，∴kAQ＝， 　　同理有kBQ＝． 　　∴kAQ·kBQ＝． 　　設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，∴·＝． 　　即a2x2＋b2y2＝a4， 　　∴＝1，∴所求軌跡為一橢圓． 　　解法二：設(shè)橢圓方程為＝1(a＞b＞0)， 　　則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(－a，0)，(a，0)．又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(acos，bsin)， 　　∵BQ⊥BP，AQ⊥AP， 　　∴BQ的直線方程為y＝(x－a)． 　　AQ的直線方程為y＝(x＋a)． 　　上面二式相乘有y2＝(x2－a2)， 　　即y2＝(x2－a2)，即＝1，∴所求軌跡仍為一個橢圓．