Question

11．如圖，已知A（10，0），直線x=t（0＜t＜10）與函數(shù)y=e^x的圖象交于點P，與x軸交于點H，記△APH的面積為f（t）．
（1）求函數(shù)f（t）的解析式；
（2）求函數(shù)f（t）的最大值．
（3）若g（t）=$\left\{{\begin{array}{l}{f（t）•{e^{-t}}+\frac{1}{6}{t^3}-4（{t＞0}）}\\{bt（{t≤0}）}\end{array}}$
探究：是否存在實數(shù)m，使得方程g（t）=m有且只有三個實數(shù)解，若存在求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知AH=10-t，PH=e^t，從而可得f（t）=$\frac{1}{2}$（10-t）e^t，0＜t＜10；
（2）求導(dǎo)$f'（t）=-\frac{1}{2}{e^t}+\frac{1}{2}×（{10-t}）{e^t}=\frac{1}{2}{e^t}（{9-t}）$；從而由導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性及最值即可；
（3）化簡g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（10-t）+\frac{1}{6}{t}^{3}-4，t＞0}\\{bt，t≤0}\end{array}\right.$；從而可得t＞0時g′（t）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t-1）（t+1）；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值，再結(jié)合分段函數(shù)，從而確定使得方程g（t）=m有且只有三個實數(shù)解時m的取值范圍．

解答 解：（1）由已知，AH=10-t，PH=e^t，
所以f（t）=$\frac{1}{2}$（10-t）e^t，0＜t＜10；
（2）解：$f'（t）=-\frac{1}{2}{e^t}+\frac{1}{2}×（{10-t}）{e^t}=\frac{1}{2}{e^t}（{9-t}）$；
令f′（t）=0得t=9；
函數(shù)f（t）與f′（t）在定義域上的情況下表：

t	（0，9）	9	（9，10）
f′（t）	+	0	-
f（t）	↗	極大值	↘

所以當(dāng)t=9時，函數(shù)f（t）取得最大值$\frac{1}{2}{e^9}$．
（3）g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（10-t）+\frac{1}{6}{t}^{3}-4，t＞0}\\{bt，t≤0}\end{array}\right.$；
當(dāng)t＞0時，g′（t）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t-1）（t+1）；
令g′（t）=0得t=1，
故t∈（0，1），g′（t）＜0，g（t）為減函數(shù)；
t∈（1，+∞），g′（t）＞0，g（t）為增函數(shù)；
∴$g{（t）_{min}}=g（1）=\frac{2}{3}$；
當(dāng)t≤0時，g（t）=bt，由數(shù)形結(jié)合知；
b≥0時，不存在m符合g（t）=m有且只有三個實數(shù)解，
b＜0時，存在m∈（$\frac{2}{3}$，1），g（t）=m有且只有三個實數(shù)解．
故m的取值范圍為（$\frac{2}{3}$，1）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．